Bir Problem Çözmenin Anatomisi

Eğer bir problemi çözemiyorsanız onun resmini çizin.

Sorunlar dünyaya geldiğimiz andan itibaren pek çok çeşidiyle karşımıza hiç durmadan çıkıyor ve biz sürekli problem çözmek zorunda kalıyoruz. Bu sayede insan belki de en çok problem çözme konusunda ustalaştı.

Ve insanlık tüm problem çözme yöntemlerinin altına bir düşünme biçimi inşa etti, bildiğimiz anlamda matematik bu düşünme biçiminin en somut ürünü.

Yaşadığımız en sıradan problemi çözme aşamasını dahi gözden geçirdiğimizde bunun temelinde bir matematiksel düşünme biçimi olduğunu sezinleriz.

Matematiksel düşünme biçimi ile bir problem nasıl çözülür? Karşılaşılan problemlerde izleyenecek özel bir yol var mıdır? Varsa nedir?

Bu soruya “Evet” yanıtını 1940’lı yılların ortasında Macar bir matematikçi verdi.

Matematiksel metot bir problemi belli bir algoritmayla çözer. Bir problemi etkili bir şekilde çözdüğünüzde zaten farkında olmadan bu metodu uyguluyoruz aslında sizde düşünürseniz…

George Polya 1887 yılında doğmuş ve neredeyse yüz yıl yaşamış bir matematikçi ve aynı zamanda Eğitim Bilimci. 

ETH Zürih ve Standford Üniversitesinde Kombinatorik, Sayı Teorisi ve Olasılık Teorisi üzerine çalışmalar yaptı. Fakat en önemli çalışmasını matematikçi ve Eğitim Bilimci kimliğini birlikte kullanarak verdi…

Bu çalışma “Heruistic Technique” olarak adlandırılır. Yani sezgisel yöntem…

Problemi çözme aşamalarını anlattığı bu kitabın belki de en çarpıcı cümlesi şudur:

“Eğer bir problemi çözemiyorsanız onun resmini çizin.”

1945 Yılında yayımladığı “How to Solve It” adlı kitabında matematiksel problemi çözmenin basit bir algoritmasını oluşturdu. Bu eserinde özellikle matematik öğretmenlerine öğrencilerin matematik problemlerini çözerken gerçek hayatta da problem durumlarını çözebilecekleri bir nitelik kazanabilmeleri için bu algoritmanın esas niteliği ve uygulama metodu üzerine eşsiz tavsiyelerde bulundu.

1. Adım: Problemi Anla

Problemi anlamak zorundasınız. Polya bir Matematikçi ve bir Eğitim Bilimci olarak bir problem durumunu çözümsüz kılan en önemli şeyin genel olarak  problem durumunun tam olarak anlaşılmaması olduğunu söylüyor.

Öncelikle problem durumunun açık bir şekilde konulması gerekir. Kendinize ve ya öğrencinize şu soruları sormalısınız; 

• Bilinmeyen şey nedir? Veriler nedir? Koşullar nelerdir? Sizden istenen nedir?
• Koşullar yeterli mi? Veriler bilinmeyeni açıklamak için yeterli mi? Verilerde çelişki ya da düzensizlik var mı?
• Bu durumda sizden çözmeniz beklenen durum ya da problem tam olarak nedir ? Neyi bulmanız ya da çözmeniz beklenmektedir?
• Problemi kendi cümlelerinizle ifade edin.
• Problem durumunun bir resmini ya da şemasını çizerek(yapabiliyorsanız) meseleyi daha açık hale getirin

2. Adım: Plan Oluştur 

Problem durumunu ortaya koyduk. Neyle karşı karşıya olduğumuzu biliyoruz. Şimdi problemi nasıl çözeceğimize odaklanmalıyız. Polya burada bazı temel problem çözme metotlarından bahsediyor. Ama bu metotlardan birini seçmeden önce kendimize -ya da öğrencimize- sormamız gereken sorular var.

• Bu tipte bir problemle daha önce karşılaştın mı? Bu probleme benzer ve ya bu problemi hatırlatan problemlerle karşılaştın mı? Orada ne yapmıştın onu hatırla.
• Bu problemle bağlantılı olabilecek tarzda bir problem biliyor musun? Kullanışlı olabilecek kurallar ya da teoremler biliyor musun? Listele.
• Bu problemi çözemiyorsan, buna benzer daha basit bir problem ifade edip çözebilir misin?
• Tasarladığın çözümde tüm verileri ve mevcut koşulları kullanabiliyor musun?

Bu temel sorulara yanıt verdikten sonra çözüm hakkında bir fikre sahip olmalıyız. Çözüm için aşağıdaki metotların birini ve ya birkaçını kim bilir belki hepsini kullanabiliriz:

• Sistematik bir liste yapın.
• Sondan başa doğru gidin.
• Baştan sona doğru gidin.
• Bir örüntü arayın.
• Koşulları daraltın.
• Koşulları gevşetin.
• Bir zıt örnek arayın
• İhtimalleri eleyin
• Bir tahminde bulunun ve deneyin.
• Bölün ve parçalar halinde çözün.
• Modelleri, teoremleri ve ya kuralları kullanın.
• Denklem haline getirip çözün.

3. Adım: Planı Uygula

Bu adım plan yapmaktan daha basit. Yapmamız gereken tek şey planımızı uygulamak. Genellikle ihtiyaç duyulan tek şey dikkatli ve sabırlı bir şekilde çözüm stratejimizi uygulamak olacaktır. Stratejinin işe yaramıyor olması bizim hatamızdan kaynaklanıyor olabilir. Bu noktada gerekli ısrarı göstermekten çekinmeyin. Sezgilerinize güvenin.

Yine de çözüm olmaması durumunda 2. adıma  dönerek stratejiyi değiştirme yoluna gidilir.

4. Adım: Gözden Geçir

Bu aşamada sonucun doğruluğu incelenir. Kullanılan stratejinin uygunluğu değerlendirilir. Alternatif çözüm yolları değerlendirilir. Polya bu değerlendirmenin aşağıdaki temel soruları  sorarak yapılması gerektiğini belirtiyor.

• Sonucun doğruluğunu sağlayabiliyor musun?
• Tüm verileri kullandın mı?
• Sonucun istenilen koşulları sağlıyor mu?
• Problem farklı bir yolla çözülebilir miydi?
• Elde ettiğin sonuç ve ya kullandığın metot farklı problemlerde kullanılabilir mi?

George Polya, 17 dile çevrilen bu önemli eserinde bir matematikçinin problem çözümü için katettiği adımları “her seviyede kullanıcı” için özetlemiş daha da önemlisi öğrencilere problem çözme işinin (ki bu işi yaşamımız boyunca yapıyoruz) öğretilmesi için tüm öğretmenlere eşi bulunmaz bir destek sunmuştur.

Dolayısıyla öğrencilere…

Yaşamınızda gerçekten çözüme ulaştığınız bir problem durumunu düşünün. Şimdi sizi başarıya sizi çözüme götüren adımlarınızı düşünün. Bu adımlara kendi çözüm adımlarınıza daha yakından bakın, hatta bir mikroskopla…

Evet! Farkettiniz…

Sizi çözüme götüren aşamalarda Polya’nın algoritmasının izlerini siz de  görüyorsunuz. Onların çok büyük kısmında farkında olmadan bu tekniğin adımlarını kullandınız. Bir matematikçi gibi düşündünüz.

Polya’nın “Sezgisel Yöntem ” dediği şey de bu. Polya neyi kastettiğini kitabının girişinde Dante’den yaptığı şu alıntıyla daha iyi özetliyor.

“Zihnim, arzusunu tatmin  eden bir şimşeğin aleviyle aydınlandı.”

Hasan Hüseyin AKİS

1. Matematiğin Seyir Defteri -(Philiph J. Davis- Reuben Hersh)
2. https://math.berkeley.edu/~gmelvin/polya
3. http://www.math.wichita.edu/history/men/polya.html

matematiksel.org sitesinden alınmıştır.